Развитие креативного мышления на уроках математики
Креативное мышление - способность продуктивно участвовать в процессе выработки, оценки и совершенствования идей, направленных на получение инновационых и эффективных решений или нового знания, или эффективного выражения воображения.
 Креативное мышление  компонент функциональный грамотности, под которым понимают умение человека использовать свое воображение для выработки и совершенствования идей, формирования нового знания, решения задач, с которыми он не сталкивался раньше. По версии PISA, креативное мышление также способность критически осмысливать свои разработки, совершенствовать их.
Известный американский психолог Поль Торранс дал такое определение креативности:
«Креативность - это значит копать глубже, смотреть лучше, исправлять ошибки, беседовать с кошкой, нырять в глубину, проходить сквозь стены, зажигать солнце, строить замок на песке, приветствовать будущее».“
Креативность (от англ. create - создавать, творить) - достигать цели, находить выход из кажущейся безвыходной ситуации, используя обстановку, предметы и обстоятельства необычным образом. В широком смысле - нетривиальное и остроумное решение проблемы.
Креативность - творческие способности индивида, характеризующиеся готовностью к принятию и созданию принципиально новых идей, отклоняющихся от традиционных или принятых схем мышления и входящие в структуру одарённости в качестве независимого фактора. 
Несмотря на множество исследований креативности, отсутствует единое понятие креативности, часто креативность отождествляется с творчеством, нет полной методической копилки математических заданий на развитие креативности. Креативность  это навык 21 века.

Концепция креативности как феномена творчества была введена в науку американским психологом  Дж. Гилфордом. В конце 50-х годов прошлого века он сформулировал несколько критериев креативности. Основные критерии таковы: 
1. Беглость мысли - количество идей, возникающих за некоторую единицу времени, легкость генерирования идей. 
2. Гибкость мысли - способность переключаться с одной идеи на другую.
 3. Оригинальность - способность производить идеи, отличающиеся от общепринятых стереотипов, способность отвечать на раздражители нестандартно (не путать оригинальность мышления с оригинальничанием).
 4. Любознательность - чувствительность к проблемам, к окружающим ситуациям, восприимчивость  чувствительность к необычным деталям, противоречиям и неопределенности, готовность быстро переключаться с одной идеи на другую. 
5. Способность к разработке гипотезы - смелой идеи, которая потом нуждается в обстоятельной эмпирической проверке. 
6. Удовлетворенность - итог проявления креативности, - логическая независимость реакций от стимулов, способность решать проблемы, способность к анализу и синтезу. 
А может ли и должен ли учитель математики учить школьников креативному мышлению?
Какие задания помогут ученику креативно мыслить? 
 Как обозначить связь между математической грамотностью и креативным мышлением и есть ли в этом необходимость?
Как и в чем проявляется креативность? Попробуем найти ответы на данные вопросы.
Безусловно, учитель математики может и должен учить школьников креативному мышлению, хотя, на первый взгляд разве плохо выполнять задания по алгоритму, знать формулы и теоремы и применять их при решении задач? Но, кто тогда будет делать научные открытия?
 Развитие креативного мышления на уроках математики и в межпредметных связях осуществляется через:
- разрешение проблемных ситуаций;
- обсуждение различных вариантов решений одной и той же задачи;
- изложение различных точек зрения на один и тот же вопрос;
- побуждение делать анализ, сравнение, обобщение, сопоставление фактов, вывод;
- постановку творческих задач, интеллектуальных задач;
- обучение учащихся самостоятельному конструированию задач;
- применение исследовательского и проектного методов.
Развивая креативность, решаются следующие задачи: 
Дети учатся мыслить в разных направлениях.
Учатся находить решения в нестандартных ситуациях.
Развивают оригинальность мыслительной деятельности.
Дети учатся анализировать сложившуюся  ситуацию с  разных сторон.

Какими могут быть задания на креативное самовыражение?
1.    Рисунок к математическому выражению, определению, теореме.
Креативное мышление подразумевает переход от слов к образам, а затем к действиям, и наоборот. Для того чтобы визуализировать понятие, полезно прибегнуть к иллюстрациям.
   рисунки взяты из сети Интернет

2.    Развитию креативного мышления способствует решение головоломок, занимательных задач. При выполнении таких задач учащимся чаще всего приходится пользоваться методом проб и ошибок, что, в конечном счете, развивает интуицию, творчество, способность искать другой способ решения, отказавшись от ложного пути. Поиск решения таких задач воспитывает усидчивость, развивает различные виды памяти, внимание.
 

3.    Подбирать ассоциации. 
Ассоциативность  способность видеть связь между совершенно разными предметами и явлениями  придает мышлению ребенка гибкость, оригинальность и продуктивность, позволяет быстро найти нужную информацию.
Пример. Ученики путают где у дроби числитель и знаменатель. Можно предложить следующую ассоциацию

Говорим о том, что Человек стоит на Земле, а не наоборот. 

4.    Сравнение. 
Формированию приема сравнения способствуют задания, в которых требуется сравнить объекты, указать их признаки и свойства, найти сходства и различия.   
  
1. Что общего у этих фигур? 
2. Укажите лишнюю фигуру? Круг - единственная фигура, которая не имеет углов. Квадрат- единственная фигура, имеющая четыре прямых угла. Треугольник - это единственный несимметричный объект. Сектор - единственная из всех фигур, которая содержит и прямые линии, и кривые. Полумесяц - единственная фигура, которая имеет выемку. Каждая из фигур чем-то отличается от всех других, но в то же время все они в равной степени имеют признаки, которые их объединяют.
4.Аналогия.  Аналогия  это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одним из основных методов при поиске доказательства теоремы, решении текстовых задач. Для формирования умения проводить аналогию можно использовать задачи на нахождение словесных аналогий, аналогий между различными объектами. Например:
1.Уменьшаемое  разность, множитель - …
влево  вправо, вверх - …
сумма  сложение, частное - …
квадрат  куб, круг-…
2.Продолжите ряд: 1, 5, 13, 29, …
Такие упражнения развивают воображение учащихся и играют немалую роль в формировании креативности мыслительной деятельности. Кроме того, систематические упражнения такого рода дают возможность усвоить алгоритм нахождения аналогов  по функциям, по признакам, по подсистемам. 
5. Классификация - следующий прием мышления, способствующий развитию креативности. Суть его - в разбиении множества рассматриваемых явлений или объектов на попарно непересекающиеся подмножества. Подобные задачи способствуют развитию умения “узнавать” знакомые объекты, переносить знания в непривычную ситуацию, видеть структуру объекта. Например, найдите “лишнее” число: 1,5; 6,3; 48; 0,9; 1,2. 
6. Обобщение говорит о степени развития мыслительной деятельности, осознанности, прочности усвоения и объеме знаний учащихся. Например, дайте общее название объектам, входящим в одну группу:
 а) разность, частное  это…б) -8; 4; -2; 11; 16; -13  это…в) прямая, треугольник  это…
7. Исключение лишнего. В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.
Например:
1.Сумма, разность, множитель, частное
2.   9; 12; 8; 15
3.   см, дм, м², км.
8. «В худшем случае». Это прием решения задачи, где для доказательства какого-либо утверждения можно рассмотреть самый неудобный, худший случай, в котором утверждение выполняется. Если мы докажем утверждение для худшего случая, то тем более оно будет верно и в остальных случаях. Главное  правильно определить этот худший случай.
Например. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся четыре человека, родившиеся в один и тот же месяц.
9. Логические задачи. Логические задачи  это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать.
Например. Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира  не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?
10.Задачи с геометрическим содержанием
1.Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были:                  а) шестиугольник; 
б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.
2.Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов).
3.Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько кубиков имеют 3 окрашенные грани, 2 окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?
Задачи на переливание
1.В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя еще два пустых сосуда по 5 и 7 литров, разделить воду на две части?
2. Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1л воды?
Задачи-шутки
1.Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?
2.Сколько концов у двух палок, у трех палок, у пяти с половиной палок?
5.Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?
Занимательные задачи
1.Чему равно произведение -109*(-108)*…107*108?
2.Чему равна сумма -65+ (-64)+(-63)+…+64+65+66?

Я привела основные типы математических задач на развитие креативного мышления. С этими задачами мы и наши ученики хорошо знакомы. Таких заданий можно много придумать по разным предметам, они развивают дивергентное мышление, способствуют развитию гибкости мышления и креативности. 
Но, возникает вопрос, как и какие задачи помогут развить математическую грамотность и креативное мышление учащихся основной школы?
Закрытые и открытые задачи
Закрытые задачи имеют четкое условие. Все, что нужно для решения задачи, в условии есть, ничего лишнего нет. Как правило, один способ решения и один правильный ответ. На решении преимущественно таких задач построено школьное образование. Фактически это даже не задачи, а упражнения по отработке некоторых интеллектуальных навыков. Например, навыка применения формул. Но в жизни таких задач практически нет! А те, что встречаются, решаются компьютером гораздо быстрее, чем человеком. Жизнь полна открытых задач: с нечетким, расплывчатым, до конца непонятным условием, с возможностью применить различные подходы к решению задачи. Да и ответ может быть спорным, неоднозначным, не единственным. В открытой задаче условие «размытое», содержит неопределенности. Методы решения разнообразны. Допускается любое количество возможных ответов.
Для решения жизненных проблем очень важно уметь решать задачи открытого типа. Подобные задачи позволяют развивать творческий потенциал ученика, подготовить его к применению знаний в различных ситуациях, а, значит, в полной мере реализовать требования новых образовательных стандартов.
ЗАДАЧИ
 
Закрытые    Открытые
условие
сформулировано четко, конкретно, однозначно    формулировка нечеткая, вариативная, противоречивая
решение
существует алгоритм (способ)    алгоритма нет
ответ
единственный правильный ответ    много правильных ответов
Закрытые задачи    Открытые задачи
Собственная скорость катера равна 30 км/ч, а скорость течения реки 3,5км/ч. Сколько времени затратит катер на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми равно 150 км, если он будут плыть против течения?    Собственная скорость катера равна 30 км/ч, а скорость течения реки 3,5 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми равно 150 км? 
Сумма двух чисел равна 24,а разность равна 15. Найти эти числа    Можно ли подобрать два таких числа, что их сумма будет равна 24, а разность 15? Если да, то объясните, каким образом.
1 м3 воздуха весит 2,9 кг. Сколько кг воздуха содержится в комнате объемом  40 м3 ?    1 м3 воздуха весит 2,9 кг. Сколько кг воздуха содержится в  классной комнате?
На сколько частей разбивают плоскость три  прямые, пересекающиеся в одной точке?    На сколько частей разбивают плоскость три прямые? Все ли условия даны? Сколько будет решений.

Целью решения «открытой задачи» является формирование сильного творческого мышления, развитие способности генерировать идеи и готовности к решению нестандартных задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности. Один из ведущих принципов педагогической техники принцип открытости. А.А. Гин, специалист по ТРИЗ-педагогике, говорит: «В школе решают «закрытые» задачи (из пункта А в пункт В...), а жизнь ставит перед человеком открытые задачи», и в зазор между первыми и вторыми зачастую проваливается интерес учеников и, соответственно, наши образовательные усилия». Отсутствие заранее определенного решения, готового ответа стимулирует школьников к самопознанию, реализации своего творческого потенциала. Таким образом, «открытый подход» предполагает, что сами задачи должны заключать в себе математические идеи. 
Особенности развития креативности старшеклассников средствами математики
Для развитие креативности применяют дивергентные задачи, допускающие существование нескольких правильных ответов. Хорошо решать такие задачи в группах. А.Н. Иванов объясняет, что для ребенка с дивергентным мышлением доступны два подхода к решению задач, как конвергентный, так и дивергентный. Исследователи М.С.В. Бойзен и Т.Ч Ларсен предлагают развивать креативность учащихся через включение ребят в образовательные ролевые игры разной степени самостоятельности.
Задания для старшеклассников составляются таким образом, чтобы в процессе их выполнения, они опирались на наглядно-образное мышление, тесно связанное с воображением, в основе которого лежат процессы анализа, сравнения, обобщения, опоры на образы предметов деятельности.
Задание 1. Из нижепредложенного списка слов составьте три задачи, одна из которых  на доказательство, вторая является вычислительной, третья - на ваш выбор. Слова: синус, косинус , высота, площадь, угол, параллелограмм, сторона, вершина, радиус, диагональ.
Задание 2. Постройте три возможных графика функции, обладающими следующими свойствами: 1) Область определения  все действительные числа. 2)  . 3) f(-2)=1. 4) f(x)<0, x<-2/ 5) f(x)>0, 3<x<5. 
6)…. Введите сами 6-е ограничение, постройте новый график другим цветом.
Задание3. Зашифруйте фразу для соседа, связанную с темой «Показательные уравнения с помощью символов или геометрических фигур.
Задание 3. Не пользуясь источниками информации, предположите, что означают следующие понятия, дайте им определения: Икосаэдр циклоида, дихотомия.
Задание 4. Придумайте 6 разных заданий к следующему графику.
 

При оценки заданий на креативное мышления обычно используются следующие критерии:
1. Приемлемость/неприемлемость идеи
2. Количество идей
3. Количество различающихся идей
4. Оригинальность/стандартность идеи
5. Количество различающихся и оригинальных идей
6. Проработанность/непроработанность идеи
7. Количество различающихся и проработанных идей
8. Количество оригинальных и проработанных идей
Как оценивать креативность работы ученика? 
 Ситуация 1. Ученик, с математической точки зрения, выполнил задание на «2», но, по его мнению, выполнил креативно. Как поступить? 
Решение ситуации. Оценку лучше сразу не ставить, а пригласить ученика на беседу. Выяснить, в чем он видит креативность, показать математические ошибки….
Ситуация 2. Ученик, с математической точки зрения, выполнил задание на «5», и, по его мнению, выполнил креативно, для учителя креативности нет. Как поступить? Считается, что оценку «5» надо поставить, но выяснить, в чем проявилась его креативность. Если ученик отстаивает, что его ответ креативен, надо похвалить.
Обязательно проговаривать критерии оценки задания заранее.
Заключение.
И в конце. Советы
1.Узнавайте новое и проявляйте любопытство
2. Ищите или сами создавайте условия, подходящие для креативного решения поставленной задачи.
3. Ищите и находите связи.
4. Разрушайте стереотипы, подвергайте сомнению различные утверждения, проверяйте их на прочность и устойчивость.